级数解法与递推关系，解出能级与径向波函数
1 月 28 日 12 时，《张朝阳的物理课》第二十三期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，继续讨论氢原子问题。他先回顾三个有关氢原子的重要算符，复习上次波函数角向部分的结果，补充了量子叠加概念，进而开始对薛定谔方程具体地求解波函数的径向部分。
张朝阳通过分析 r 趋于 0 与 r 趋于无穷的情况，猜测径向波函数解的大致形式，将氢原子径向薛定谔方程变形并化简。将解表示为级数展开形式，推导出其各项系数的递推关系，并求解出氢原子量子化的能级和径向波函数。通过分析电子的概率分布，寻找 r 方向上的极大值，得到氢原子半径。
分析r 趋于 0 与无穷的渐进行为，化简与变形氢原子径向薛定谔方程
「我们跟氢原子较劲很长时间了。」 张朝阳在直播间开场说到，「宇宙中第一个元素就是氢。知道了氢，便知道了天下，包括了解我们自己，每个人身上有多少碳水化合物？」
在开始讲解氢原子径向波函数之前，张朝阳复习了上次角向波函数的结果，并补充说明利用量子叠加的概念，可得出沿不同方向旋转的角向波函数，完结了关于氢原子角向的所有讨论。这节课是求解氢原子的最后一步，张朝阳要带着网友求解氢原子径向薛定谔方程。
这个方程是类氢离子方程，比之前几节课的方程多出了 Z，代表的是原子核所带电荷数是 Z，氢原子 Z=1 代表氢原子核带 1 个单位正电荷。引入 Z 是为了方便下节课讨论多电子原子。为了方便，之后仍然称此类氢离子方程为氢原子方程。
「为了让它看起来简洁。」他先介绍求解方法，「我们定义如下两个新参数，化简这个方程。」
并定义新的函数 u：
这样，径向薛定谔方程可以化简为：
「但是，这个新形式的方程还是不好解，若我们还是强行用级数展开求解，递推关系会很复杂。」他指出问题所在。「为了进一步化简，我们先分析它在 r 趋于无穷与 r 趋于 0 的渐进行为。」他边推导边分析，当 r 趋于无穷时，方程会变得非常简单，可以解得函数 u 在 r 趋于无穷的时候有如下渐进行为。他也提到，另外一个解由于不满足波函数的束缚态条件而舍弃掉了。
他继续推导，当 r 趋于 0 时，方程也变得比较简单。同样也可以解得 u 函数在 r 趋于 0 的时候则有如下渐进行为。而另外一个解对应的波函数在 r=0 处过于发散，导致粒子在此处任意小体积元内出现的概率为无穷大，因而也舍去。
最后，将这两者的渐进行为专门提取出来，定义新的函数 R：
并且将此关系式，代入 u 所满足的方程，可以得到 R 所满足的方程：
所以，只需要解出 R，就能解出氢原子的径向薛定谔方程了。
级数解法与递推关系，解出能级与径向波函数
为了解出 R，类比上一节解勒让德方程的方法，张朝阳将 R 写成级数展开的形式：
并将其代入到 R 所满足的方程之中，得到其系数所满足的递推关系：
他介绍说，若这个级数有无穷多项，那么 k 可以取到无穷大，而当 k 很大的时候可以发现，R 的展开系数的递推关系就与 e 指数的泰勒展开系数的递推关系一样，即函数 R（r）在 r 趋于无穷的时候按照 e 指数发散，代回最初的波函数的表达式中，会发现波函数不符合束缚态的条件。
所以，为了得到束缚态，或者说为了让径向波函数在无穷远处趋于 0，必须得要求此级数不能是无穷多项，即必须有个截断，对应的条件就是在某一个 k 的时候上式递推关系的分子为零。
「这样大于 k 的展开系数全部为 0。」他给出答案「根据α与 E 的关系，就可以将能量的表达式具体写出来。」
通过推导能清晰看出，氢原子的能级是分立的，而不像经典力学那样是连续的。
张朝阳再进一步利用 u 与 R 的关系以及径向波函数与 u 的关系，得到径向波函数的表达式：
他介绍，若将这个径向波函数归一化，并结合上节课解得的角向波函数，就能得出氢原子整体波函数的表达式：
「其中 n 称为主量子数，用来标记能级。l 称为角量子数，用来标记角动量。m 称为磁量子数，用来标记角动量的 z 分量。」他解释。
解得氢原子径向波函数后，张朝阳具体带网友看了看氢原子的基态，这时 Z 取为 1，n 取 1，l 与 m 都取 0。根据量子态的概率诠释，可以利用径向波函数计算出电子出现在不同半径球壳的概率。
可以发现，当球壳半径刚好为波尔半径的时候，电子出现的概率最大，即氢原子半径正是波尔半径，这说明氢原子薛定谔方程解出的氢原子半径正好与粗糙的旧量子力学得出的氢原子半径惊人地一致。
推导过程中，因为需要用到很多数学知识，张朝阳一度开玩笑说，「今天是堂数学课，你们跟我学数学了。」他也解释说，「我们这个课，你说大学水平也好，中学水平也好，我们是为了解决问题，逢山开道，遇水架桥。需要用到什么就学什么。」
搜狐视频发力知识直播 传播知识玩转科学
自 11 月 5 日至今，《张朝阳的物理课》已直播二十余期。在第一、二课中，张朝阳科普了「力」和「速度」，算出马斯克的飞船和中国空间站每日绕地飞行圈数；第三、四课和「振动」相关，科普可见光的基本知识；第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论；在第七、八、九课重温经典物理学的两朵乌云。
第十、十一课重点回顾黑体辐射曲线及其应用；第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界，推导出著名的公式「E=mc²」，并论证钟慢尺缩效应；第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变；第十六课开始进入量子力学，讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡不确定性原理，以及薛定谔方程等。
从二十余期的物理课可以看出，《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜——通过观察日常生活现象、用网友最熟悉的话题来提升兴趣，再以公式推导的方式解释其背后的物理原理，「透过现象看本质」，进而反过来解决生活中的类似问题。
张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情，他希望物理课的受众能保有好奇心，「在好奇心驱使下，了解自然界的奥秘，了解我们在这个世界生存的道理」。在后续课程中，他还将继续以这种直播风格解释生活中常见的物理现象，让普通人能够听懂、专业人士也能认可，激发科学学习的热潮。该课程于每周周五、周日 12 时在搜狐视频直播。同时，网友可以在搜狐视频「关注流」中搜索「张朝阳」，观看往期完整视频回放。
除《张朝阳的物理课》外，搜狐视频也邀请多位通识教育播主，直播科普知识，传递价值。北京交通大学理学院教师陈征博士玩起了「奇趣的科学实验」，走进「光的波粒二象性」；康奈尔大学物理化学博士包坤，化身「包大人玩科学」，教普通人看懂 2021 年诺贝尔奖；还有天体物理博士刘博洋科普「日全食是怎么产生的」等，近期走红的理论物理博士后周思益，也来搜狐视频开通「弦论世界」直播课。未来，还将有更多知识播主入驻，一起互动玩转科学。
